第五章　二極體整流器

Line-Frequency Diode Rectifiers

交流進、直流出，開關只有二極體。這一章對得上板書：5-2-1 純電阻、5-2-2 電感、5-2-3 負載裡有直流電壓、5-3-2 單相橋式、半波對稱與諧波、功因，以及 LsL_s 造成的換流。

符號先統一。交流電源寫成

vs=2 Vssin⁡ωt=Vmsin⁡ωtv_s = \sqrt{2}\,V_s\sin\omega t = V_m\sin\omega t

VsV_s 是電源的有效值，VmV_m 是峰值。角度 ωt\omega t 下面用「度」說明，代進指數函數時要改成弳度。

1. 5-2-1　半波，純電阻

半波電阻
此處預留圖圖/06_half_R.png
半波電阻

二極體只在 vs>0v_s > 0 時導通。

  • 0 到 180°：vd=vsv_d = v_s，i=vs/Ri = v_s / R。
  • 180° 到 360°：二極體逆向，i=0i = 0，vd=0v_d = 0。

直流電壓是整週的平均，不是峰值：

Vdc=12π∫0πVmsin⁡θ dθ=Vmπ≈0.45 VsV_{dc} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta = \frac{V_m}{\pi} \approx 0.45\,V_s

輸出電壓的有效值：

Vd,rms=Vm2V_{d,rms} = \frac{V_m}{2}

功率用有效值：P=Vd,rms2/RP = V_{d,rms}^2 / R。

二極體截止時，整個 vsv_s 都壓在二極體上。負半週最深是 −Vm-V_m，所以

PIV=Vm\text{PIV} = V_m

例題 5-1

Vs=120V_s = 120 V，R=10 ΩR = 10\ \Omega，f=60f = 60 Hz，理想二極體，半波，純電阻。求 VdcV_{dc}、IdcI_{dc}、IrmsI_{rms}、負載功率、PIV。

過程

Vm=1202=169.7 VV_m = 120\sqrt{2} = 169.7\ \text{V}
Vdc=169.7π=54.0 VV_{dc} = \frac{169.7}{\pi} = 54.0\ \text{V}

也可以直接 0.45×120=54.00.45\times 120 = 54.0 V。

Idc=54.010=5.40 AI_{dc} = \frac{54.0}{10} = 5.40\ \text{A}
Vd,rms=169.72=84.9 VV_{d,rms} = \frac{169.7}{2} = 84.9\ \text{V}
Irms=84.910=8.49 AI_{rms} = \frac{84.9}{10} = 8.49\ \text{A}
P=Irms2R=8.492×10=720 WP = I_{rms}^2 R = 8.49^2 \times 10 = 720\ \text{W}

用公式檢查：P=Vs2/(2R)=14400/20=720P = V_s^2 /(2R) = 14400/20 = 720 W。兩個算法相同。

PIV=169.7 V\text{PIV} = 169.7\ \text{V}

若有人用 Idc2R=5.402×10=292I_{dc}^2 R = 5.40^2\times 10 = 292 W，那是錯的。電阻發熱看有效值。

2. 5-2-2　半波，電感負載

半波電感
此處預留圖圖/07_half_RL.png
半波電感

電感的電流不能在 vsv_s 過零的瞬間消失。二極體會繼續導通到電流回到 0，這個角度叫 extinction angle 熄滅角 β\beta。β\beta 一定大於 180°。

導通時：

vs=Ldidt+Riv_s = L\frac{di}{dt} + Ri
didt=vs−RiL\frac{di}{dt} = \frac{v_s - Ri}{L}
  • vs>Riv_s > Ri：電流上升。
  • vs<Riv_s < Ri：電流下降。這段常常已經進入負半週，所以 vdv_d 會變成負的。
  • 電流回到 0：二極體不能反流，之後 i=0i = 0，vd=0v_d = 0。

負的那一段 vdv_d 是電感把能量吐回電源。電流從 0 開始又回到 0，電感電壓的正面積等於負面積。

電流的式子怎麼來的

這是一階線性微分方程。Ed=0E_d = 0、從 0° 開始導通時，答案是

i(θ)=VmZ[sin⁡(θ−φ)+sin⁡φ⋅e−(R/ωL)θ]i(\theta) = \frac{V_m}{Z}\left[\sin(\theta-\varphi)+\sin\varphi\cdot e^{-(R/\omega L)\theta}\right]

其中

Z=R2+(ωL)2,φ=tan⁡−1ωLRZ = \sqrt{R^2+(\omega L)^2}, \qquad \varphi = \tan^{-1}\frac{\omega L}{R}

括號裡第一段是電源逼出來的穩態正弦，第二段是開機暫態，用來保證 θ=0\theta = 0 時電流是 0。θ\theta 代進指數時要用弳度。

熄滅角由 i(β)=0i(\beta) = 0 決定。這個式子沒有漂亮的反函數，用試角度或數值求解。

例題 5-2

vs=100sin⁡ωtv_s = 100\sin\omega t V，R=5 ΩR = 5\ \Omega，L=10L = 10 mH，f=60f = 60 Hz。求 ZZ、φ\varphi，並找出 β\beta。

過程

ωL=377×0.010=3.77 Ω\omega L = 377\times 0.010 = 3.77\ \Omega
Z=52+3.772=39.2=6.26 ΩZ = \sqrt{5^2+3.77^2} = \sqrt{39.2} = 6.26\ \Omega
φ=tan⁡−1(3.77/5)=37.0∘\varphi = \tan^{-1}(3.77/5) = 37.0^\circ
i(θ)=1006.26[sin⁡(θ−37∘)+sin⁡37∘⋅e−(5/3.77)θ]i(\theta) = \frac{100}{6.26}\left[\sin(\theta-37^\circ)+\sin 37^\circ\cdot e^{-(5/3.77)\theta}\right]

試幾個角度（指數裡的 θ\theta 用弳度）：

θ\theta ii
90° 13.9 A
120° 16.4 A
180° 9.76 A
210° 2.03 A
217.2° 0

180° 時還有 9.76 A，所以不是純電阻那種「過零就斷」。β=217∘\beta = 217^\circ。217° 之後電流保持 0，直到下一週。

電流最大約 16.5 A，在 120° 附近，不是在 90°。電感把電流的峰往後推。

3. 5-2-3　負載裡有直流電壓

含直流電壓
此處預留圖圖/08_half_Ed.png
含直流電壓

負載可以想成一顆要充電的電池 EdE_d，再串 RR 和 LL。二極體要等 vsv_s 高過 EdE_d 才開始通。

θ1=sin⁡−1EdVm\theta_1 = \sin^{-1}\frac{E_d}{V_m}

導通時：

vs=Ldidt+Ri+Edv_s = L\frac{di}{dt} + Ri + E_d
  • vs>Ed+Riv_s > E_d + Ri：電流上升。
  • vs<Ed+Riv_s < E_d + Ri：電流下降。
  • 電流回到 0，而且此時 vs<Edv_s < E_d：二極體保持截止，負載端電壓停在 EdE_d。

若電感夠大，θ2\theta_2 仍可能稍微超過 180°。

板書上的通解

方程式是

Ldidt+Ri=Vmsin⁡ωt−EdL\frac{di}{dt}+Ri = V_m\sin\omega t - E_d

分成兩部分：

  • 特解：交流穩態加上直流穩態
ip=VmZsin⁡(ωt−φ)−EdRi_p = \frac{V_m}{Z}\sin(\omega t-\varphi) - \frac{E_d}{R}
  • 補解：電源拿掉之後的自然衰減
ih=Ae−(R/L)ti_h = Ae^{-(R/L)t}

i=ip+ihi = i_p + i_h。導通開始的時刻 t1t_1 電流還是 0，用這個條件找出 AA，得到

i(t)=VmZ[sin⁡(ωt−φ)−sin⁡(ωt1−φ) e−(R/L)(t−t1)]−EdR[1−e−(R/L)(t−t1)]\begin{aligned} i(t) &= \frac{V_m}{Z}\Big[\sin(\omega t-\varphi)-\sin(\omega t_1-\varphi)\,e^{-(R/L)(t-t_1)}\Big] \\ &\quad - \frac{E_d}{R}\Big[1-e^{-(R/L)(t-t_1)}\Big] \end{aligned}

θ2\theta_2 就是下一個讓 i=0i = 0 的時刻。

例題 5-3

Vm=100V_m = 100 V，Ed=40E_d = 40 V，R=5 ΩR = 5\ \Omega，L=20L = 20 mH，f=60f = 60 Hz。求開始導通的角度，並說明電流何時結束。

過程

θ1=sin⁡−1(40/100)=23.6∘\theta_1 = \sin^{-1}(40/100) = 23.6^\circ
ωL=377×0.020=7.54 Ω\omega L = 377\times 0.020 = 7.54\ \Omega
Z=52+7.542=9.05 Ω,φ=tan⁡−1(7.54/5)=56.4∘Z = \sqrt{5^2+7.54^2} = 9.05\ \Omega, \qquad \varphi = \tan^{-1}(7.54/5) = 56.4^\circ

把上面的通解從 θ1\theta_1 開始算，試到電流回到 0：

θ\theta ii
23.6° 0
90° 4.60 A
140° 6.62 A
180° 3.50 A
202.2° 0

所以導通區間是 23.6° 到 202°，大約 178°。180° 時電流還沒有結束，會再導通約 22°。202° 之後二極體截止，直到下一週 vsv_s 再超過 40 V。

電池平均收到的功率，要等電流波形算出平均電流再乘 EdE_d。這一題的重點是區間，不是把平均功率背下來。

4. 5-3-2　單相全波橋式，Ls=0L_s = 0

橋式整流
此處預留圖圖/09_bridge.png
橋式整流

四顆二極體。正半週 D1、D2 導通，負半週 D3、D4 導通。輸出電壓永遠是 vsv_s 的絕對值：

vd=∣vs∣v_d = |v_s|

平均電壓，板書的 (5-9)：

Vdo=1π∫0π2 Vssin⁡θ dθ=22πVs=0.9 VsV_{do} = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\sqrt{2}\,V_s\sin\theta\,d\theta = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}V_s = 0.9\,V_s

這裡用半週 π\pi 當週期，因為全波每半週就重複一次。不要和半波的 0.45Vs0.45 V_s 搞混。

這一節後面的諧波，假設直流側電感很大，highly inductive load。直流電流幾乎是常數 IdI_d。交流側電流就變成高度 IdI_d 的方波：正半週 +Id+I_d，負半週 −Id-I_d。

每顆二極體的 PIV 仍是 VmV_m。

5. 半波對稱

半波對稱
此處預留圖圖/10_symmetry.png
半波對稱

若

f(ωt+180∘)=−f(ωt)f(\omega t+180^\circ) = -f(\omega t)

波形有 half-wave symmetry 半波對稱。把波形右移半週再上下翻轉，會和原來重合。

結果：

  • 沒有直流成分。
  • 沒有偶次諧波。
  • 只剩 1、3、5、7… 次。

方波 ±Id\pm I_d 有半波對稱。只有正脈衝的半波電流沒有。全波整流的電壓 ∣vs∣|v_s| 也沒有，因為右移半週之後長得一樣，沒有變成負的。

板書的問題可以這樣答：波形若沒有半波對稱，傅立葉級數裡偶次諧波可以存在。偶次諧波本身會破壞 f(ωt+180∘)=−f(ωt)f(\omega t+180^\circ)=-f(\omega t)，正負半週不再互為反相。

6. 方波的諧波、THD、功因

諧波
此處預留圖圖/11_harmonics.png
諧波

高度 IdI_d 的方波：

is(t)=4Idπ(sin⁡ωt+13sin⁡3ωt+15sin⁡5ωt+⋯ )i_s(t) = \frac{4I_d}{\pi}\left(\sin\omega t+\frac{1}{3}\sin 3\omega t+\frac{1}{5}\sin 5\omega t+\cdots\right)

第 nn 次（nn 為奇數）的峰值是 4Id/(nπ)4I_d/(n\pi)。有效值再除以 2\sqrt{2}：

Is1=4Idπ2=22πId=0.9 IdI_{s1} = \frac{4I_d}{\pi\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}I_d = 0.9\,I_d
Isn=Is1nI_{sn} = \frac{I_{s1}}{n}

方波的總有效值就是它的高度：

Is=IdI_s = I_d

諧波的有效值（不含基頻）：

Idis=Is2−Is12I_{dis} = \sqrt{I_s^2-I_{s1}^2}

總諧波失真 THD, total harmonic distortion，板書用 0.9 這個近似，得到 (5-15)：

THD=IdisIs1=1−0.920.9=0.190.9=48.4%\text{THD} = \frac{I_{dis}}{I_{s1}} = \frac{\sqrt{1-0.9^2}}{0.9} = \frac{\sqrt{0.19}}{0.9} = 48.4\%

用更精確的 22/π=0.90032\sqrt{2}/\pi = 0.9003，THD 是 48.3%。考試用板書的 48.4%（或 48.43%）即可。

為什麼平均功率只和基頻有關

功因
此處預留圖圖/13_pf.png
功因

vsv_s 只有基頻。不同頻率的正弦乘起來，整週平均是 0。所以

P=VsIs1cos⁡φ1P = V_s I_{s1}\cos\varphi_1

橋式二極體的方波和電壓同時換向，基頻電流和 vsv_s 同相，φ1=0\varphi_1 = 0，位移功因

DPF=cos⁡φ1=1\text{DPF} = \cos\varphi_1 = 1

視在功率用總有效值：

S=VsIsS = V_s I_s
PF=PS=Is1Is×DPF=0.9×1=0.9PF = \frac{P}{S} = \frac{I_{s1}}{I_s}\times DPF = 0.9\times 1 = 0.9

功因只有 0.9，不是因為電流相位落後，是因為電流有諧波。諧波讓 IsI_s 變大、線路更熱，但不增加平均功率。

另外可以用直流側檢查：Ls=0L_s = 0 時 P=VdoId=0.9VsIdP = V_{do}I_d = 0.9 V_s I_d，而 VsIs1=Vs(0.9Id)V_s I_{s1} = V_s(0.9 I_d)，兩個結果一樣。

例題 5-4

單相橋式，Ls=0L_s = 0，直流側電感很大，Vs=120V_s = 120 V，Id=10I_d = 10 A。求 VdoV_{do}、Is1I_{s1}、IsI_s、IdisI_{dis}、THD、PP、SS、PF、DPF。

過程

Vdo=0.9×120=108 VV_{do} = 0.9\times 120 = 108\ \text{V}
Is1=0.9×10=9 AI_{s1} = 0.9\times 10 = 9\ \text{A}
Is=Id=10 AI_s = I_d = 10\ \text{A}
Idis=102−92=19=4.36 AI_{dis} = \sqrt{10^2-9^2} = \sqrt{19} = 4.36\ \text{A}
THD=4.369=0.484=48.4%\text{THD} = \frac{4.36}{9} = 0.484 = 48.4\%
P=VdoId=108×10=1080 WP = V_{do}I_d = 108\times 10 = 1080\ \text{W}

用交流側再算一次：P=VsIs1=120×9=1080P = V_s I_{s1} = 120\times 9 = 1080 W。一致。

S=VsIs=120×10=1200 VAS = V_s I_s = 120\times 10 = 1200\ \text{VA}
PF=10801200=0.9,DPF=1PF = \frac{1080}{1200} = 0.9, \qquad DPF = 1

7. LsL_s 不等於 0：換流重疊

換流
此處預留圖圖/12_commutation.png
換流

交流側有漏感 LsL_s 時，電流不能從 +Id+I_d 瞬間跳到 −Id-I_d。換流的那一小段，四顆二極體同時導通，輸出被箝住：

vd=0,vs=Lsdisdtv_d = 0, \qquad v_s = L_s\frac{di_s}{dt}

這段角度叫 overlap angle 重疊角 uu，也叫 commutation angle。

電流的變化量是 2Id2I_d，不是 IdI_d。因為要從 +Id+I_d 變到 −Id-I_d。

∫vs dt=Ls⋅2Id\int v_s\,dt = L_s\cdot 2I_d

改用角度 θ=ωt\theta = \omega t，dt=dθ/ωdt = d\theta/\omega：

∫0uVmsin⁡θ dθ=ωLs⋅2Id\int_0^{u} V_m\sin\theta\,d\theta = \omega L_s\cdot 2I_d
Vm(1−cos⁡u)=2ωLsIdV_m(1-\cos u) = 2\omega L_s I_d
cos⁡u=1−2ωLsIdVm\cos u = 1 - \frac{2\omega L_s I_d}{V_m}

少掉的電壓面積就是左邊這個積分，板書的 (5-30)：

Au=2ωLsIdA_u = 2\omega L_s I_d

每半週少一塊 AuA_u，半週的角度寬度是 π\pi，所以平均電壓下降

ΔVd=Auπ=2ωLsIdπ\Delta V_d = \frac{A_u}{\pi} = \frac{2\omega L_s I_d}{\pi}

ω=2πf\omega = 2\pi f，化簡成很好用的形式：

ΔVd=4fLsId\Delta V_d = 4 f L_s I_d
Vd=Vdo−4fLsId=0.9 Vs−4fLsIdV_d = V_{do} - 4 f L_s I_d = 0.9\,V_s - 4 f L_s I_d

電流愈大、漏感愈大、頻率愈高，直流電壓掉得愈多。圖裡的缺口故意畫大，實際的 uu 常常只有二十幾度。

例題 5-5

接續例題 5-4 的 120 V、Id=20I_d = 20 A 先改成這題的數字：Vs=120V_s = 120 V，f=60f = 60 Hz，Ls=1L_s = 1 mH，Id=20I_d = 20 A。求 uu、AuA_u 和 VdV_d。

過程

沒有 LsL_s 時

Vdo=0.9×120=108 V,Vm=169.7 VV_{do} = 0.9\times 120 = 108\ \text{V}, \qquad V_m = 169.7\ \text{V}
Au=2×377×0.001×20=15.08 V⋅radA_u = 2\times 377\times 0.001\times 20 = 15.08\ \text{V·rad}
ΔVd=4×60×0.001×20=4.8 V\Delta V_d = 4\times 60\times 0.001\times 20 = 4.8\ \text{V}

用 Au/π=15.08/3.142=4.8A_u/\pi = 15.08/3.142 = 4.8 V 檢查，相同。

Vd=108−4.8=103.2 VV_d = 108 - 4.8 = 103.2\ \text{V}
cos⁡u=1−15.08169.7=0.911,u=cos⁡−1(0.911)=24.3∘\cos u = 1 - \frac{15.08}{169.7} = 0.911, \qquad u = \cos^{-1}(0.911) = 24.3^\circ

重疊角 24°，直流電壓從 108 V 掉到 103 V。

8. 三相橋式，本章後段

板書照片停在單相換流。三相全波橋是第 5 章後面的內容，公式很短，講到時可以直接用。

線電壓有效值 VLLV_{LL} 時，理想平均電壓

Vdo=32πVLL=1.35 VLLV_{do} = \frac{3\sqrt{2}}{\pi}V_{LL} = 1.35\,V_{LL}

每個時刻只有兩顆二極體導通，每顆導通 120°。直流側電感很大時，交流相電流是 120° 寬的正負脈衝。

例題 5-6

三相橋式，Ls=0L_s = 0，線電壓 480 V。求理想直流電壓。

Vdo=1.35×480=648 VV_{do} = 1.35\times 480 = 648\ \text{V}

有 LsL_s 時電壓還會再下降，單相那套「電流變化量造成伏秒」的想法一樣，係數不同。上課寫出三相的係數後，再補進公式表即可。

9. 最容易混的地方

  • 半波平均是 0.45Vs0.45 V_s，全波才是 0.9Vs0.9 V_s。
  • 0.45Vs0.45 V_s 和 0.9Vs0.9 V_s 都是平均值。功率要用有效值。
  • 有電感時，電流不會在 180° 結束。
  • THD = 48.4%、PF = 0.9 是「直流電流近似常數」的方波才有的。純電阻的交流電流是正弦拱起，不是這個數字。
  • 換流時電流變化量是 2Id2I_d。漏看成 IdI_d，重疊角和壓降都會少一半。
  • DPF = 1 只說明基頻沒有相位差。PF = 0.9 是諧波造成的。

10. 這章要認得的英文

英文 中文 看到時怎麼理解
half-wave rectifier 半波整流器 只有半週導通
full-bridge rectifier 全波橋式整流器 四顆二極體，vd=∥vs∥v_d=\|v_s\|
purely resistive 純電阻 電流和電壓同形，過零就斷
inductive load 電感負載 電流會延後結束
extinction angle 熄滅角 β\beta 電流回到 0 的角度
back emf / internal dc voltage 負載裡的直流電壓 EdE_d 像電池，vsv_s 要超過它才通
highly inductive 電感很大 直流電流當常數
half-wave symmetry 半波對稱 移半週再反號，波形不變
Fourier series 傅立葉級數 把波形拆成基頻加諧波
fundamental 基頻 第 1 次，和電源同頻率
harmonic 諧波 3、5、7… 次
even / odd 偶次 / 奇次 半波對稱會消掉偶次
THD 總諧波失真 Idis/Is1I_{dis}/I_{s1}
distortion 失真、畸變 這裡指諧波含量
power factor, PF 功因 P/SP/S
displacement power factor, DPF 位移功因 cos⁡φ1\cos\varphi_1
commutation 換流 電流從一組二極體交到另一組
overlap angle 重疊角 uu 兩組同時導通的角度
source inductance 電源電感 LsL_s 漏感，讓電流不能瞬變
rms 有效值 算發熱和視在功率
peak inverse voltage 峰值逆向電壓 二極體截止時的最大電壓