第三章　電路與磁路複習

Review of Basic Electrical and Magnetic Circuit Concepts

這一章是第 5 章的計算幾乎全部站在這裡。請把平均值、有效值、伏秒平衡練到會自己寫。磁路的最後一節要連到第 5 章的電源電感 LsL_s。

1. 平均值和有效值

同一個波形有兩個不同的「一個數字」。

平均值與有效值
此處預留圖圖/04_avg_rms.png
平均值與有效值

週期是 TT 時：

Vavg=1T∫0Tv dtV_{avg} = \frac{1}{T}\int_0^T v\,dt
Vrms=1T∫0Tv2 dtV_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T v^2\,dt}
  • 平均值 average：把一週期的面積除以週期。正負會相消。它代表直流成分。
  • 有效值 rms：先平方、再平均、再開根號。平方之後沒有負的，所以它代表發熱能力。

電阻的功率一定用有效值：

P=Irms2R=Vrms2RP = I_{rms}^2 R = \frac{V_{rms}^2}{R}

用平均值代進去會算錯。這是第 5 章最常犯的錯。

例題 3-1　方脈衝，先練步驟

週期 T=4T = 4 ms。前 1 ms 電壓是 20 V，剩下 3 ms 是 0。

平均值

Vavg=14(20×1+0×3)=5 VV_{avg} = \frac{1}{4}\left(20 \times 1 + 0 \times 3\right) = 5\ \text{V}

有效值

Vrms=14(202×1+0)=100=10 VV_{rms} = \sqrt{\frac{1}{4}\left(20^2 \times 1 + 0\right)} = \sqrt{100} = 10\ \text{V}

若這個電壓接上 R=10 ΩR = 10\ \Omega：

P=Vrms2R=10010=10 WP = \frac{V_{rms}^2}{R} = \frac{100}{10} = 10\ \text{W}

如果誤用平均值：52/10=2.55^2 / 10 = 2.5 W，少算了四倍。電流有效值是 Vrms/R=1V_{rms}/R = 1 A，電流平均值是 0.50.5 A。

例題 3-2　正弦波，第 5 章會直接拿去用

vs=Vmsin⁡ωt,Vm=1202=169.7 Vv_s = V_m \sin\omega t, \qquad V_m = 120\sqrt{2} = 169.7\ \text{V}

這是有效值 120 V 的市電形狀。完整的一個週期，正面積和負面積相消：

Vavg=0V_{avg} = 0

有效值就是題目給的 120 V，因為

Vrms=Vm2=120 VV_{rms} = \frac{V_m}{\sqrt{2}} = 120\ \text{V}

現在只留下正半週，負半週改成 0。這就是第 5 章半波整流的輸出電壓。週期仍然是一整週 2π2\pi：

Vdc=12π∫0πVmsin⁡θ dθ=Vmπ=169.7π=54.0 VV_{dc} = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta = \frac{V_m}{\pi} = \frac{169.7}{\pi} = 54.0\ \text{V}

因為 Vm=2 VsV_m = \sqrt{2}\,V_s，

Vdc=2πVs≈0.45 Vs=0.45×120=54 VV_{dc} = \frac{\sqrt{2}}{\pi}V_s \approx 0.45\,V_s = 0.45\times 120 = 54\ \text{V}

有效值要先平方。sin⁡2θ\sin^2\theta 在 0 到 π\pi 的積分是 π/2\pi/2，所以

Vrms=12π∫0πVm2sin⁡2θ dθ=Vm2=84.9 VV_{rms} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi} V_m^2\sin^2\theta\,d\theta} = \frac{V_m}{2} = 84.9\ \text{V}

記法：

  • 半波整流的直流電壓是 0.45Vs0.45 V_s。
  • 半波整流電壓的有效值是 Vm/2V_m/2，不是 0.45Vs0.45 V_s。

全波整流每個半週都有拱起，週期縮成 π\pi：

Vdc=1π∫0πVmsin⁡θ dθ=2Vmπ=22πVs≈0.9 VsV_{dc} = \frac{1}{\pi}\int_0^{\pi} V_m\sin\theta\,d\theta = \frac{2V_m}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{\pi}V_s \approx 0.9\,V_s

這就是板書上橋式整流的 Vdo=0.9VsV_{do} = 0.9 V_s。第 5 章會在電路裡再推一次。

2. 電感

vL=Ldidt,Δi=1L∫vL dtv_L = L\frac{di}{dt}, \qquad \Delta i = \frac{1}{L}\int v_L\,dt

電壓的面積決定電流改變多少。面積的單位是伏秒，所以叫 volt-second。

伏秒平衡
此處預留圖圖/05_voltsecond.png
伏秒平衡

週期穩態下，電流不能一個週期比一個週期更高，所以一個週期內

∫TvL dt=0\int_T v_L\,dt = 0

正面積等於負面積。板書第 5 章寫的「A 面積 = B 面積」就是這句。

電流連續時，電感兩端電壓可以跳變，電流不能跳變。開關突然打開，電流還是剛才那個值，接著才依照 vLv_L 上升或下降。

例題 3-3　伏秒

L=2L = 2 mH。電壓 +10 V 維持 50 μ50\ \mus。

Δi=10×50×10−62×10−3=0.25 A\Delta i = \frac{10 \times 50\times 10^{-6}}{2\times 10^{-3}} = 0.25\ \text{A}

若一個週期是 200 μ200\ \mus，前面 50 μ50\ \mus 是 +10 V，穩態時剩下 150 μ150\ \mus 的電壓平均必須把這 0.25 A 拉回來。設那段電壓是常數 V2V_2：

10×50+V2×150=010\times 50 + V_2\times 150 = 0
V2=−500150=−3.33 VV_2 = -\frac{500}{150} = -3.33\ \text{V}

正面積 10×50=50010\times 50 = 500，負面積 3.33×150=5003.33\times 150 = 500。這就是面積相等。

3. 電容

iC=Cdvdt,Δv=1C∫iC dti_C = C\frac{dv}{dt}, \qquad \Delta v = \frac{1}{C}\int i_C\,dt

和電感對偶：電流的面積（安秒，amp-second）決定電壓改變多少。週期穩態下，電容電流的平均值必須是 0，否則電壓會一直漂。

電壓連續，電流可以跳。

例題 3-4　安秒

C=100 μC = 100\ \muF，用 2 A 充電 1 ms。

Δv=2×1×10−3100×10−6=20 V\Delta v = \frac{2 \times 1\times 10^{-3}}{100\times 10^{-6}} = 20\ \text{V}

若充電前是 5 V，充電後是 25 V。

4. 功率和功因（先學正弦的版本）

瞬時功率 p=vip = vi。一個週期的平均才是真正做功的功率：

P=1T∫0Tvi dtP = \frac{1}{T}\int_0^T vi\,dt

電壓、電流都是正弦，而且相位差是 φ\varphi 時：

P=VrmsIrmscos⁡φP = V_{rms} I_{rms}\cos\varphi

視在功率 apparent power：

S=VrmsIrmsS = V_{rms} I_{rms}

功因 power factor：

PF=PS=cos⁡φPF = \frac{P}{S} = \cos\varphi

這裡的 cos⁡φ\cos\varphi 也叫 displacement power factor，DPF，位移功因。

第 5 章的電流不是正弦，含有諧波。那時 PFPF 不再等於 cos⁡φ\cos\varphi。口頭課先把正弦的定義立好，第 5 章再加一句：只有和電壓同頻率的那一部分電流會產生平均功率。

5. 磁路

鐵心讓磁通有一條低磁阻的路。口頭複習要留下的關係：

磁路
此處預留圖圖/16_magnetic.png
磁路

磁阻 reluctance（不要和電阻 RR 搞混，這裡寫成 RmR_m）：

Rm=ℓμA,μ=μrμ0,μ0=4π×10−7R_m = \frac{\ell}{\mu A}, \qquad \mu = \mu_r\mu_0, \qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}

磁動勢 MMF 是 NiNi，單位安匝。它對磁通的角色，很像電壓對電流：

ϕ=NiRm\phi = \frac{Ni}{R_m}

磁通密度 B=ϕ/AB = \phi / A。線圈的電感：

L=Nϕi=N2RmL = \frac{N\phi}{i} = \frac{N^2}{R_m}

法拉第定律：

v=Ndϕdtv = N\frac{d\phi}{dt}

若磁通是正弦 ϕ=ϕmaxsin⁡ωt\phi = \phi_{max}\sin\omega t，感應電壓的峰值是 NωϕmaxN\omega\phi_{max}，有效值是

E=Nωϕmax2=4.44 fNϕmaxE = \frac{N\omega\phi_{max}}{\sqrt{2}} = 4.44\, f N\phi_{max}

因為 ω=2πf\omega = 2\pi f，而 2π/2=4.4422\pi/\sqrt{2} = 4.442。

漏感就是第 5 章的 LsL_s

不是全部磁通都走在鐵心裡。漏出去的那一部分用一個小電感代表，叫 leakage inductance 漏感。

整流器接到交流電源時，變壓器和線路的漏感就出現在交流側，符號是 LsL_s。電流不能瞬間改變，所以二極體換相時要花一個角度 uu。第 5 章最後一節就是在算這個角度，以及它讓直流電壓少掉多少。

例題 3-5　磁路數字

鐵心平均長度 ℓ=0.2\ell = 0.2 m，截面積 A=4 cm2=4×10−4 m2A = 4\ \text{cm}^2 = 4\times 10^{-4}\ \text{m}^2，μr=1000\mu_r = 1000，匝數 N=100N = 100，電流 1 A。

μ=1000×4π×10−7=1.257×10−3\mu = 1000\times 4\pi\times 10^{-7} = 1.257\times 10^{-3}
Rm=0.21.257×10−3×4×10−4=3.98×105 AT/WbR_m = \frac{0.2}{1.257\times 10^{-3}\times 4\times 10^{-4}} = 3.98\times 10^{5}\ \text{AT/Wb}
ϕ=100×13.98×105=2.51×10−4 Wb\phi = \frac{100\times 1}{3.98\times 10^{5}} = 2.51\times 10^{-4}\ \text{Wb}
B=ϕA=2.51×10−44×10−4=0.628 TB = \frac{\phi}{A} = \frac{2.51\times 10^{-4}}{4\times 10^{-4}} = 0.628\ \text{T}
L=N2Rm=100003.98×105=0.0251 H=25.1 mHL = \frac{N^2}{R_m} = \frac{10000}{3.98\times 10^{5}} = 0.0251\ \text{H} = 25.1\ \text{mH}

例題 3-6　4.44 公式

f=60f = 60 Hz，N=200N = 200，ϕmax=0.5\phi_{max} = 0.5 mWb =5×10−4= 5\times 10^{-4} Wb。

E=4.44×60×200×5×10−4E = 4.44\times 60\times 200\times 5\times 10^{-4}

先算 200×5×10−4=0.1200\times 5\times 10^{-4} = 0.1，再

E=4.44×60×0.1=26.6 VE = 4.44\times 60\times 0.1 = 26.6\ \text{V}

這是這顆線圈感應電壓的有效值。

6. 這章要認得的英文

英文 中文 看到時怎麼理解
average 平均值 面積除以週期，正負相消
rms 有效值 先平方再平均再開根號，用來算發熱
instantaneous 瞬時 某個時刻的值，還沒平均
steady state 穩態 波形一週期一週期重複
volt-second balance 伏秒平衡 穩態時電感電壓平均為 0
amp-second balance 安秒平衡 穩態時電容電流平均為 0
power factor 功因 平均功率除以視在功率
apparent power 視在功率 VrmsIrmsV_{rms}I_{rms}，單位 VA
displacement 位移 正弦電壓和電流的相位差
reluctance 磁阻 磁通遇到的阻力
MMF 磁動勢 NiNi
flux 磁通 ϕ\phi
leakage inductance 漏感 沒走鐵心的那部分，第 5 章的 LsL_s
Faraday's law 法拉第定律 v=N dϕ/dtv = N\,d\phi/dt

7. 口頭課結束時要能算的事

  • 給一段波形，求出平均值和有效值，並且用有效值算功率。
  • 半波是 0.45Vs0.45 V_s，全波是 0.9Vs0.9 V_s。兩個都是平均值。
  • 電感：電壓面積改變電流；穩態時正面積等於負面積。
  • 電容：電流面積改變電壓。
  • 正弦功因是 cos⁡φ\cos\varphi。有諧波時這個句子不夠，第 5 章會補。
  • 漏感 LsL_s 讓交流側電流不能瞬間改變。